The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0, zeros)
a__incr(cons(X, Y)) → cons(s(X), incr(Y))
a__adx(cons(X, Y)) → a__incr(cons(X, adx(Y)))
a__hd(cons(X, Y)) → mark(X)
a__tl(cons(X, Y)) → mark(Y)
mark(nats) → a__nats
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(hd(X)) → a__hd(mark(X))
mark(tl(X)) → a__tl(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
mark(0) → 0
mark(s(X)) → s(X)
a__nats → nats
a__adx(X) → adx(X)
a__zeros → zeros
a__incr(X) → incr(X)
a__hd(X) → hd(X)
a__tl(X) → tl(X)

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n¹):
The rewrite sequence
a__hd(cons(hd(cons(X11058_3, X21059_3)), Y)) →⁺ a__hd(cons(X11058_3, X21059_3))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [].
The pumping substitution is [X11058_3 / hd(cons(X11058_3, X21059_3))].
The result substitution is [Y / X21059_3].

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0', zeros)
a__incr(cons(X, Y)) → cons(s(X), incr(Y))
a__adx(cons(X, Y)) → a__incr(cons(X, adx(Y)))
a__hd(cons(X, Y)) → mark(X)
a__tl(cons(X, Y)) → mark(Y)
mark(nats) → a__nats
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(hd(X)) → a__hd(mark(X))
mark(tl(X)) → a__tl(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
mark(0') → 0'
mark(s(X)) → s(X)
a__nats → nats
a__adx(X) → adx(X)
a__zeros → zeros
a__incr(X) → incr(X)
a__hd(X) → hd(X)
a__tl(X) → tl(X)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) SlicingProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Sliced the following arguments:
s/0

(6) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0', zeros)
a__incr(cons(X, Y)) → cons(s, incr(Y))
a__adx(cons(X, Y)) → a__incr(cons(X, adx(Y)))
a__hd(cons(X, Y)) → mark(X)
a__tl(cons(X, Y)) → mark(Y)
mark(nats) → a__nats
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(hd(X)) → a__hd(mark(X))
mark(tl(X)) → a__tl(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
mark(0') → 0'
mark(s) → s
a__nats → nats
a__adx(X) → adx(X)
a__zeros → zeros
a__incr(X) → incr(X)
a__hd(X) → hd(X)
a__tl(X) → tl(X)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0', zeros)
a__incr(cons(X, Y)) → cons(s, incr(Y))
a__adx(cons(X, Y)) → a__incr(cons(X, adx(Y)))
a__hd(cons(X, Y)) → mark(X)
a__tl(cons(X, Y)) → mark(Y)
mark(nats) → a__nats
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(hd(X)) → a__hd(mark(X))
mark(tl(X)) → a__tl(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
mark(0') → 0'
mark(s) → s
a__nats → nats
a__adx(X) → adx(X)
a__zeros → zeros
a__incr(X) → incr(X)
a__hd(X) → hd(X)
a__tl(X) → tl(X)

Types:
a__nats :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__adx :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__zeros :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
cons :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
0' :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
zeros :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__incr :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
s :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
incr :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
adx :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__hd :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
mark :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__tl :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
nats :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
hd :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
tl :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
hole_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl1_0 :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
gen_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl

(9) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__hd, mark, a__tl

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__hd = mark
a__hd = a__tl
mark = a__tl

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0', zeros)
a__incr(cons(X, Y)) → cons(s, incr(Y))
a__adx(cons(X, Y)) → a__incr(cons(X, adx(Y)))
a__hd(cons(X, Y)) → mark(X)
a__tl(cons(X, Y)) → mark(Y)
mark(nats) → a__nats
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(hd(X)) → a__hd(mark(X))
mark(tl(X)) → a__tl(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
mark(0') → 0'
mark(s) → s
a__nats → nats
a__adx(X) → adx(X)
a__zeros → zeros
a__incr(X) → incr(X)
a__hd(X) → hd(X)
a__tl(X) → tl(X)

Types:
a__nats :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__adx :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__zeros :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
cons :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
0' :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
zeros :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__incr :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
s :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
incr :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
adx :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__hd :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
mark :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__tl :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
nats :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
hd :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
tl :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
hole_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl1_0 :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
gen_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a__hd, a__tl

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__hd = mark
a__hd = a__tl
mark = a__tl

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol mark.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0', zeros)
a__incr(cons(X, Y)) → cons(s, incr(Y))
a__adx(cons(X, Y)) → a__incr(cons(X, adx(Y)))
a__hd(cons(X, Y)) → mark(X)
a__tl(cons(X, Y)) → mark(Y)
mark(nats) → a__nats
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(hd(X)) → a__hd(mark(X))
mark(tl(X)) → a__tl(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
mark(0') → 0'
mark(s) → s
a__nats → nats
a__adx(X) → adx(X)
a__zeros → zeros
a__incr(X) → incr(X)
a__hd(X) → hd(X)
a__tl(X) → tl(X)

Types:
a__nats :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__adx :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__zeros :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
cons :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
0' :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
zeros :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__incr :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
s :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
incr :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
adx :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__hd :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
mark :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__tl :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
nats :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
hd :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
tl :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
hole_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl1_0 :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
gen_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__hd, a__tl

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__hd = mark
a__hd = a__tl
mark = a__tl

(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__hd.

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0', zeros)
a__incr(cons(X, Y)) → cons(s, incr(Y))
a__adx(cons(X, Y)) → a__incr(cons(X, adx(Y)))
a__hd(cons(X, Y)) → mark(X)
a__tl(cons(X, Y)) → mark(Y)
mark(nats) → a__nats
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(hd(X)) → a__hd(mark(X))
mark(tl(X)) → a__tl(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
mark(0') → 0'
mark(s) → s
a__nats → nats
a__adx(X) → adx(X)
a__zeros → zeros
a__incr(X) → incr(X)
a__hd(X) → hd(X)
a__tl(X) → tl(X)

Types:
a__nats :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__adx :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__zeros :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
cons :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
0' :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
zeros :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__incr :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
s :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
incr :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
adx :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__hd :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
mark :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__tl :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
nats :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
hd :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
tl :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
hole_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl1_0 :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
gen_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a__tl

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__hd = mark
a__hd = a__tl
mark = a__tl

(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__tl.

(16) Obligation:

TRS:
Rules:
a__nats → a__adx(a__zeros)
a__zeros → cons(0', zeros)
a__incr(cons(X, Y)) → cons(s, incr(Y))
a__adx(cons(X, Y)) → a__incr(cons(X, adx(Y)))
a__hd(cons(X, Y)) → mark(X)
a__tl(cons(X, Y)) → mark(Y)
mark(nats) → a__nats
mark(adx(X)) → a__adx(mark(X))
mark(zeros) → a__zeros
mark(incr(X)) → a__incr(mark(X))
mark(hd(X)) → a__hd(mark(X))
mark(tl(X)) → a__tl(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
mark(0') → 0'
mark(s) → s
a__nats → nats
a__adx(X) → adx(X)
a__zeros → zeros
a__incr(X) → incr(X)
a__hd(X) → hd(X)
a__tl(X) → tl(X)

Types:
a__nats :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__adx :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__zeros :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
cons :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
0' :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
zeros :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__incr :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
s :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
incr :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
adx :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__hd :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
mark :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
a__tl :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
nats :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
hd :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
tl :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
hole_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl1_0 :: 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl
gen_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(0', gen_0':zeros:cons:s:incr:adx:nats:hd:tl2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.